计算机组成原理：运算方法与运算器

整数
浮点数

整数

定点加、减法运算

补码加法：[x]补 + [y]补 = [x+y]补

补码减法：[x-y]补 = [x]补 - [y]补 = [x]补 + [-y]补

定点乘法运算

原码一位乘法运算：符号位异或，其他位乘法。运算过程与十进制乘法类似（竖式）。

习题

某加法器进位链小组信号为C4C3C2C1，低位来的进位信号为C0，请分别按下述两种方式写出C4C3C2C1的逻辑表达式：

(1) 串行进位方式

(2) 并行进位方式

令 $G_i = A_iB_i$ ， $P_i = A_i \oplus B_i$

串行
1. $C_1 = G_1 + P_1C_0$
2. $C_2 = G_2 + P_2C_1$
3. $C_3 = G_3 + P_3C_2$
4. $C_4 = G_4 + P_4C_3$
并行
1. $C_1 = G_1 + P_1C_0$
2. $C_2 = G_2 + P_2G_1 + P_2P_1C_0$
3. $C_3 = G_3 + P_3G_2 + P_3P_2G_1 + P_3P_2P_1C_0$
4. $C_4 = G_4 + P_4G_3 + P_4P_3G_2 + P_4P_3P_2G_1 + P_4P_4P_3P_1C_0$

浮点数

浮点数表示 IEEE 754

S: 0正1负
Exp: 阶码
Frac: 尾数

(-1)^S \cdot (1+Frac) \cdot 2^{Exp - Bias}

Bias = 2^{Exp长度-1} - 1

32位float: S1 Exp8 Frac23

64位double: S1 Exp11 Frac52

浮点数运算

对阶：小阶向大阶看齐。小阶每次尾数右移一位，阶码加一，直到阶码相同为止。
尾数相加
结果规格化（使尾数处于规格化范围内）：
- 左规
  - 若尾数为原码，应使结果为x.1xxx
  - 若尾数为补码，最高位与符号位相反
  - 对 IEEE 754，尾数应为 1.M 形式
- 右规
  - 若尾数形如01.xx..x或10.xx..x，应将其右移一位，阶码加一
检查上溢或下溢
舍入处理
- 就近舍入（向偶数舍入）(默认是这个)：如果尾数超出共3为001, 010, 011舍去；101, 110, 111进位； 100 看最低有效位，若为0则舍去，为1则进位，此时舍入结果始终为偶数
- 朝0舍入：向数轴原点方向截断
- 朝 $+\infty$ 舍入：负数截断，正数多余不全为0就进位
- 朝 $-\infty$ 舍入：与👆相反

习题

将下列十进制数表示成IEEE754标准的32位浮点规格数

(1) 27/64

$27/64 = 0.011011 = 1.1011×2^{-2}$

S = 0

E = -2 + 127 = 125 = 0111 1101

M = 1011 0000 … 0000

结果：0 01111101 1011 0000 0000 0000 0000 000

*(2) -27/64

S 取反，其他一样

结果：1 01111101 1011 0000 0000 0000 0000 000

下列各数使用了IEEE 32位浮点格式，相等的十进制是什么？

(1) 1 10000011 110 0000 0000 0000 0000 0000

S = 1

Exp = 1000 0011 = 131

Frac = 110 0000 … 0000

E = 131 - 127 = 4

M = 1.11

$X = -(1.11\times 2^4)$ = - 11100 = -28

(2) 0 01111110 101 0000 0000 0000 0000 0000

S = 0

Exp = 0111 1110 = 126

Frac = 101 0000 … 0000

E = 126 - 127 = -1

M = 1.101

$X = 1.101 \times 2^-1$ = 0.1101 = 0.8125

32位字长的浮点数，其中阶码8位（含1位阶符），基数是2，尾数24位（含1位数符）。当机器数采用原码表示，则其对应的最小正数、最小负数是多少？当机器数采用补码表示，且尾数为规格化形式，则其对应的最大正数、最大负数是多少？

原码表示时
- 尾数非规格化
  - 最小正数： $2^{-127}\times 2^{-23}$
  - 最小负数： $-2^{127}\times (1 - 2^{-23})$
- 尾数规格化
  - 最小正数： $2^{-127}\times 2^{-1}$
  - 最小负数： $-2^{127}\times (1 - 2^{-23})$
- 故最小正数 $2^{-127}\times 2^{-23}$ ，最小负数 $-2^{127}\times (1 - 2^{-23})$ 。
补码表示时
- 尾数规格化
  - 最大正数： $2^{127}\times (1-2^{-23})$
  - 最大负数： $-2^{-128}\times (2^{-1} + 2^{-23})$

设阶码3位，尾数6位，按浮点运算方法，完成下列取值的[x + y]，[x - y]运算：

(1) $x = 2^{-011}0.100101$ , $y = 2^{-010}(-0.011110)$

对阶为-010

(2) $x = 2^{-101}(-0.010110)$ , $y = 2^{-100}0.010110$